Sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores de inducción por el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración

Nov 06, 2023

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 2467 (2023) Citar este artículo

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En este artículo, se investiga la sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración. Se establece el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico del sistema vibratorio. La condición sincrónica del sistema vibratorio se obtiene con el método de parámetros pequeños. A través de la derivación teórica y la simulación numérica, no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia de cuatro motores de inducción en el sistema de vibración. Para lograr el propósito del movimiento de sincronización multifrecuencia, se propone el método de sincronización controlada multifrecuencia y se introduce un método de control PID difuso. La estabilidad del sistema de control está certificada por el criterio de Lyapunov. Se presenta una arbitrariedad del método de control propuesto que se aplica al sistema de vibración. Para certificar la precisión de la teoría y la simulación, se construye un banco de pruebas vibratorio. Se operan algunos experimentos para validar la efectividad y el método de sincronización controlada propuesto.

Con el desarrollo de la economía, la búsqueda de interés parece ser particularmente importante en la producción de la industria. Para lograr este objetivo, se presentan muchas tecnologías correspondientes. Mientras tanto, las máquinas vibratorias como una rama de la industria se investigan para obtener beneficios en la agricultura, por ejemplo, la pantalla vibratoria, el alimentador vibratorio, etc.1,2,3,4. Este tipo de máquinas vibratorias suelen estar estructuradas por dos patrones en la industria. Un tipo como sincronización forzada se realiza mediante correas, engranajes, etc. Pueden implementar velocidades iguales o diferentes entre motores de inducción. El otro tipo se basa en la teoría de la autosincronización propuesta inicialmente por Blekhman5,6. En su investigación, el modelo dinámico se combina con el método multiescala, que es un método analítico asintótico basado en el método promedio. Al utilizar diferentes escalas de tiempo, dividen el movimiento vibratorio en dos tipos de procesos, que son respectivamente procesos rápidos y lentos. El rápido es relativo a la velocidad del motor y el lento es relativo a la fase. Por lo tanto, dos rotores excéntricos (ER) impulsados ​​por motores de inducción realizan la autosincronización en direcciones opuestas. Obviamente, las máquinas vibratorias se pueden realizar con una estructura más simple y menos costos mediante la teoría de la autosincronización. Con base en los resultados anteriores, muchos investigadores se sienten atraídos por este campo y adquiere un rápido desarrollo. Wen et al.7 analiza la característica del sistema vibratorio basado en un modelo dinámico de alto acoplamiento. Además, derivaron condiciones de sincronismo y estabilidad del sistema vibratorio con el criterio de Hamilton. Zhao et al.8,9 establecen el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico y convierten el problema de la condición sincrónica en una existencia del valor propio con el método del promedio de parámetros pequeños. No solo realizan el movimiento de autosincronización de dos motores en direcciones opuestas sino también en las mismas direcciones. Las investigaciones anteriores se establecen en un solo cuerpo rígido. Zhang et al.1,10,11,12,13 presentan la teoría de la autosincronización con multimotores (más de dos motores). En su investigación, el modelo dinámico se establece a partir de un cuerpo rígido. Con la condición de sincronización y los criterios de sincronización de autosincronización, se proporciona el análisis característico del modelo dinámico. Los resultados de su investigación presentan que la autosincronización del sistema vibratorio con tres motores no puede obtener una amplitud superpuesta y este fenómeno no se da cuenta de las diferencias cero entre tres motores. Los problemas de sincronización anteriores se basan todos en la misma frecuencia de los motores. El problema de sincronización con diferente frecuencia es presentado por Inoue Junki chi14. En su trabajo, cuatro motores están instalados simétricamente en un soporte vibratorio a lo largo del eje vertical en lugar del eje horizontal. Y utilizan esta característica asimétrica para realizar la sincronización multifrecuencia. Sin embargo, la polilla en Ref.14 solo puede realizar un estado sincrónico con el modelo dinámico fijo. Este resultado no puede satisfacer las necesidades de la industria.

El movimiento de autosincronización que puede realizar la diferencia cero entre dos motores debe satisfacer la condición de sincronización y los criterios de sincronización. Y este resultado depende de la característica dinámica del sistema vibratorio. Para resolver este problema, se introducen métodos de control en el sistema vibratorio. Kong et al.15,16 introducen la estrategia y el método de control en el movimiento de autosincronización y realizan el movimiento de sincronización controlado. En su investigación, se presenta una estrategia de control maestro-esclavo y un método de control de modo deslizante adaptativo para ser utilizado en el modelo dinámico del sistema vibratorio. Con este método, las diferencias de motores que no son cero en la autosincronización se pueden realizar finalmente a cero. Además del método anterior, Ishizaki et al.17 utilizan el método de control de acoplamiento cruzado para realizar la sincronización con sistemas de servo duales. Con el objetivo del sistema de motor lineal dual, Lin et al.18 aplican un método inteligente de control de modo deslizante complementario para implementar un síncrono de acoplamiento cruzado. Al prestar atención a las diferentes frecuencias de los motores en el movimiento de sincronización, Jia et al.19,20 proponen el método PID difuso adaptativo y realizan el movimiento de sincronización controlado por multifrecuencia. Tian et al.21 ilustran la estimación rápida y robusta de posiciones y velocidades mediante el uso de un método de funciones moduladoras generalizadas. Balthazar et al.22 presenta la investigación de la autosincronización de cuatro excitadores no ideales. Nanha Djanan et al.23,24 estudian el movimiento de autosincronización en una placa rectangular.

De las ilustraciones anteriores, el propósito de realizar los movimientos de sincronización es aumentar las amplitudes del sistema vibratorio en función de la característica dinámica. Y este resultado se puede convertir para realizar las diferencias cero entre motores. Sin embargo, la sincronización multifrecuencia solo se puede realizar con una frecuencia entera (2 o 3 veces). Para resolver este problema, se propone la sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores de inducción mediante el método de relación de frecuencia fija y se proporciona la estructura principal de este artículo. En el apartado "Modelo matemático y análisis de sincronización", se establece el modelo dinámico del sistema vibratorio con cuatro motores. Y luego la condición de sincronización y los criterios del sistema vibratorio se obtienen en el ciclo de mínimo común múltiplo con el método de parámetros pequeños. En la sección "Diseño del sistema de control", se introduce el método de control PID difuso adaptativo en el sistema vibratorio basado en una estrategia de control maestro-esclavo y la estabilidad del sistema de control está certificada por la teoría de Lyapunov. Para una ilustración legible, se muestran algunas simulaciones y experimentos numéricos en la sección "Resultados numéricos y experimentales con discusiones" y se enumera la conformidad entre la simulación y el experimento. En la sección "Conclusiones", se dan algunas conclusiones sobre este artículo.

En esta sección, el modelo matemático del sistema vibratorio se muestra en la Fig. 1, el cual se establece de abajo hacia arriba. Todos los símbolos se enumeran en la Tabla 1. Un marco rígido está conectado en la base con cuatro resortes que están distribuidos simétricamente a lo largo del eje de coordenadas. Cuatro motores inductores de jaula de ardilla divididos en dos grupos se fijan simétricamente en el marco. Los motores 1 y 4 como un grupo tienen la misma frecuencia y el otro grupo consta de los motores 2 y 3 cuya frecuencia es diferente del grupo delantero. Cada motor se instala mediante cuatro pernos a través de orificios circulares en el marco.

Modelo matemático del sistema vibratorio.

Como se muestra en la Fig. 1, o es el punto central del marco y oi (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente los puntos del eje de cuatro motores inductores. \(oo_{i} = l_{i}\) (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente las distancias entre el punto central del marco o y los puntos del eje de cuatro motores inductores oi. m es la calidad del marco y cuatro motores inductores. m0 es la calidad total de cada ER y mi (i = 1, 2, 3, 4) son respectivamente la calidad real de cuatro ER. r es el radio de cuatro motores. \(\varphi_{i} (i = 1,2,3,4)\) son el ángulo de fase inicial de los motores de inducción. \(\theta_{i} (i = 1,2,3,4)\) son el ángulo de posición de cuatro ER.\(J_{p}\) es la inercia rotacional del marco. \(\psi\) es el ángulo de oscilación del sistema vibratorio. Por lo tanto, la ecuación diferencial del sistema vibratorio basada en la ecuación de Lagrange se puede expresar como

donde \(L = T - V\). L es la función de Lagrange. T y V son respectivamente la energía cinética y la energía potencial. Q y q respectivamente representan fuerza generalizada y coordenadas generalizadas. \({\mathbf{Q}} = ( - f_{x} \dot{x}, - f_{y} \dot{y}, - f_{\psi } \dot{\psi },T_{e1} - f_{1} \dot{\varphi }_{1} ,T_{e2} - f_{2} \dot{\varphi }_{2} ,T_{e3} - f_{3} \dot{\varphi }_{3} ,T_{e4} - f_{4} \dot{\varphi }_{4} )^{{\text{T}}}\), \({\mathbf{q}} = ( x,y,\psi ,\varphi_{1} ,\varphi_{2} ,\varphi_{3} ,\varphi_{4} )^{{\text{T}}}\).

En la ecuación. (2), \({\mathbf{x}}_{i} = \left( \begin{reunidos} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{reunidos} \right) + \left( {\ begin{matriz}{*{20}c} {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{matriz} } \right )\left( \begin{reunidos} l_{i} \cos \theta_{i} + \tau_{i} r\cos \varphi_{i} \hfill \\ l_{i} \sin \theta_{i} + r\sin \varphi_{i} \hfill \\ \end{reunidos} \right)\).

Ecuación combinada. (1) con las ecuaciones. (2) y (3), se puede obtener el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico del sistema vibratorio.

donde \(M = m + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} }\) es la masa total del sistema vibratorio, \(J = Ml_{e}^{2} \ aprox. J_{p} + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} } (l_{i}^{2} + r^{2} )\) es la inercia rotacional equivalente del sistema vibratorio. \(l_{e}\) es el radio de rotación equivalente. \(J_{i} = m_{i} r^{2} (i = 1,2,3,4)\) son respectivamente la inercia rotacional de cuatro motores. \(f_{x}\), \(f_{y}\) y \(f_{\psi }\) son respectivamente los coeficientes de amortiguamiento del sistema vibratorio en \(x\), \(y\) y \( \psi\) direcciones, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(k_{x}\), \(k_{y}\) y \(k_{\psi }\) son respectivamente los coeficientes de rigidez del sistema vibratorio en \(x\), \(y\) y \( \psi\) direcciones, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(f_{i} (i = 1,2,3,4)\), \(T_{ei} (i = 1,2,3,4)\), y \(T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) son respectivamente coeficientes de amortiguamiento, pares electromagnéticos y pares de carga de cuatro motores. El ítem TL en la Ec. (4) se puede derivar como Eq. (5).

Con el objetivo de ilustrar el elemento Te en el modelo dinámico de acoplamiento electromecánico, se proporciona el modelo de motor inductor. En este artículo, los ER son accionados por motores inductores de jaula de ardilla. Con la característica de este tipo de motor inductor, sus devanados de rotor interno se cortocircuitan. Así, \(u_{rd} = u_{rq}\). Cuando el motor está en un estado estable, \(\phi_{rd}\) = constante y \(\phi_{rq}\) = 0. Según el documento 25, el modelo del motor inductor se puede expresar como Eq. (6).

donde, s y r representan respectivamente el estator y el rotor. d- y q- representan el eje d- y el eje q- en el marco de coordenadas giratorio. i, u y R representan respectivamente corriente, voltaje y resistencia. Ls y Lr representan respectivamente la autoinducción del estator y el rotor. Lm es la inductancia mutua del estator y el rotor. Tr es la constante de tiempo del rotor, \(T_{r} = L_{r} /R_{r}\). Lks es la inductancia de fuga del estator, \(L_{ks} = L_{s} - L_{m}^{2} /L_{r}\). Rks es la resistencia equivalente del estator, \(R_{ks} = R_{s} + L_{m}^{2} R_{r} /L_{r}^{2}\). \({\uptheta }\) representa el ángulo de enlace de flujo síncrono, \({\uptheta } = \int {(\omega + \omega_{s} )} dt\). \(\omega\) representa la velocidad angular mecánica. \(\omega_{s}\) representa la velocidad angular eléctrica síncrona, \(\omega_{s} = L_{m} i_{sq} /\phi_{rd} T_{r}\).

Para realizar la sincronización controlada, se introduce el método de control vectorial en el sistema de control. Y el control orientado al flujo del rotor (RFOC) se muestra en la Fig. 2 para ilustrar el sistema de control. En la Fig. 2, los signos con "\(*\)" son valores iniciales y en la Eq. (5), \(L_{m}\) y \(\phi_{rd}\) son valores dados. \(i_{sd}\) se puede calcular mediante la fórmula \(i_{sd} = \phi_{rd} /L_{m}\). Por tanto, el ítem Te está relacionado con los valores de realimentación \(i_{sq}\).

RFOC: control orientado al flujo del rotor.

Para mostrar claramente el análisis de estabilidad del sistema vibratorio, primero se debe dar la ilustración del modelo dinámico. En este modelo, el motor 1 y el motor 4 giraron en la dirección opuesta como se muestra en la Fig. 1 en primer lugar. Cuando los dos motores realizan el movimiento de autosincronización estable con diferencia de fase cero, el estado sincrónico estable de los motores 1 y 4 se puede expresar como \(\omega_{1} - \omega_{4} = 0\) y \(\ varphi_{1} - \varphi_{4} = 0\). Luego, el motor 2 y el motor 3 terminan el mismo movimiento de autosincronización que la condición anterior. De la misma manera, el estado sincrónico estable de los motores 2 y 3 se puede expresar como \(\omega_{2} - \omega_{3} = 0\) y \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 0\). Finalmente, los motores 1 y 4 realizan el movimiento de sincronización multifrecuencia con el método de relación de frecuencia fija y el estado sincrónico estable se puede presentar como \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2 }\) = 0 y \(n\varphi_{1} - \varphi_{2}\) = constante. Donde, p y q son números primos, p/q = n. Por lo tanto, las velocidades de cuatro motores se pueden presentar como

Tomando la ecuación. (7) en la ecuación. (4), las respuestas en tres direcciones del sistema vibratorio se pueden derivar como la ecuación. (8).

donde \(\omega_{x}^{2} = k_{x} /M\), \(\omega_{y}^{2} = k_{y} /M\), \(\omega_{\psi }^{2} = k_{\psi } /J\), \(\zeta_{x} = f_{x} /(2\sqrt {k_{x} M} )\), \(\zeta_{y } = f_{y} /(2\sqrt {k_{y} M} )\(\zeta_{\psi } = f_{\psi } /(2\sqrt {k_{\psi } J} ) \), \(\mu_{xi} = 1 - \omega_{x}^{2} /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{yi} = 1 - \omega_{y} ^{2 } /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{\psi i} = 1 - \omega_{\psi }^{2} /\omega_{i}^{2}\ ), \ (r_{li} = l_{i} /l_{e}\), \(\tan \gamma_{xi} = 2\zeta_{x} \omega_{x} /(\mu_{xi} \ omega_{i } )\), \(\tan \gamma_{yi} = 2\zeta_{y} \omega_{y} /(\mu_{yi} \omega_{i} )\), \(\tan \ gamma_{\ psi i} = 2\zeta_{\psi } \omega_{\psi } /(\mu_{\psi i} \omega_{i} )\, \(r_{m} = m_{0} / M\), \(\eta_{i} = m_{i} /m_{0} (i = 1,2,3,4)\).

Con el método del parámetro pequeño, el parámetro pequeño \(\varepsilon\) se introduce en la ecuación. (4). Y luego, la ecuación. (4) se puede convertir a la ecuación. (9).

donde \(\omega_{0}\) es la velocidad promedio de los motores en la autosincronización. El método de cálculo de \(\overline{T}_{ei} = T_{e0i} - k_{e0i} \overline{\varepsilon }_{i} (i = 1,2,3,4)\) puede ser obtenido de Ref.15. Suponiendo que \(\dot{\varphi }_{1} = (p + \varepsilon_{1} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{2} = (q + \varepsilon_{ 2} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{3} = (q + \varepsilon_{3} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_ {4} = (p + \varepsilon_{4} )\omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{1} { = }\dot{\varepsilon }_{1} \omega_{0 }\), \(\ddot{\varphi }_{2} { = }\dot{\varepsilon }_{2} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{3} { = }\dot{\varepsilon }_{3} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{4} { = }\dot{\varepsilon }_{4} \omega_{0} \), los pares de carga promedio se pueden expresar como

Los elementos de coeficiente y constante se enumeran en el Apéndice A en línea.

Del Apéndice A en línea, se puede saber que cuando dos motores inductores tienen la misma frecuencia (autosincronización), existe el efecto de acoplamiento. De lo contrario, no hay efecto de acoplamiento entre dos motores. Debido a que el motor 1 y el motor 4 realizan un movimiento de autosincronización, la diferencia de fase promedio se puede expresar como \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 2\alpha_{1}\). Con base en la misma teoría, la diferencia de fase promedio entre el motor 2 y el motor 3 se puede expresar como \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 2\alpha_{2}\). Tome los artículos Te y TL en la ecuación. (10) y expandirlo en \(\alpha_{1}\) y \(\alpha_{2}\) respectivamente. Mientras tanto, omita los términos no lineales de orden superior y suponga que \(\varepsilon_{5}\) y \(\varepsilon_{6}\) son, respectivamente, la perturbación de parámetros pequeños de dos grupos de motores inductores. Se puede obtener la ecuación (11).

donde, \({\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}{a^{\prime}_{11}} & 0 & 0 & {a^{\ primo}_{14}}&0&0\\0&{a^{\prime}_{22}}&{a^{\prime}_{23}}&0&0&0\\0& {a^{\prime}_{32 }} &{a^{\prime}_{33}}&0&0&0\{a^{\prime}_{41}}&0&0& {a^{\prime}_{44}} &0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\ \\end{array}} \right)\), \({\mathbf{B}} = \left({\begin{array}{*{20}c}{b^{\prime}_{11} } & 0 & 0 & { b^{\prime}_{14}} & {b^{\prime}_{15}} & 0\\0&{b^{\prime}_{22}}&{ b^{\prime}_{23}}&0&0&{b^{\prime}_{26}}\\0&{b^{\prime}_{32}}&{b^{\prime}_{33 } }&0&0&{b^{\prime}_{36}}\\{b^{\prime}_{41}}&0&0&{b^{\prime}_{44}}& {b^{\prime} _ {45}}&0\\{\omega_{0}/2}&0&0&{-\omega_{0}/2}&0&0\\0&{\ omega_{0} /2} & { - \omega_{0} / 2} & 0 & 0 & 0 \\\end{matriz}} \right)\), \({\dot{\overline{\mathbf{ \item psilon }}}} = \left( {\begin{matriz }{*{20}c} {\dot{\overline{\itemsilon }}_{1} } & {\dot{\overline{\itemsilon } }_{2} } & {\dot{\overline{\ itempsilon }}_{3} } & {\dot{\overline{\itemsilon }}_{4} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{5} } & {\dot{\overline{ \varepsilon }}_{6} } \\\end{matriz} } \right)^{{\text{T}}}\), \( {\overline{\mathbf{\itempsilon}}} = \left ( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\itemsilon}_{1} } & {\overline{\itemsilon}_; {2} } & {\overline{\itemsilon }_{ 3} } & {\overline{\itemsilon }_{4} } & {\overline{\itemsilon }_{5} } & {\overline{\itemsilon }_{6} } \\ \end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \({{\varvec{\uppsylon}}} = \left( {\begin{ array}{*{20}c} {\upsilon_{1 }} & {\upsilon_{2}} & {\upsilon_{3}} & {\upsilon_{4}} & 0 & 0 \\\end{matriz } } \right)^{{\text{T}} }\). \(a^{\prime}_{ij}\), \(b^{\prime}_{ij}\) y \(\upsilon_{i}(i = 1,2,3,4)\) se enumeran en el Apéndice B en línea.

Cuando el sistema vibratorio alcanza el estado sincrónico estable, los parámetros pequeños \(\varepsilon = 0\) y \(\dot{\varepsilon } = 0\). Por lo tanto, la condición sincrónica de cuatro ER se puede expresar como Eq. (12).

donde \(T_{eNi} (i = 1,2,3,4)\) son respectivamente los pares electromagnéticos nominales de cuatro motores inductores. Debido al estado síncrono estable, se puede obtener el resultado de \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\). Toma \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) en la ecuación. (12), y luego la Ec. (13) se pueden adquirir.

Como se muestra en la Ec. (11), debido a que la matriz A es una matriz no singular y el determinante \(\left| {\mathbf{A}} \right| \ne 0\), la matriz A es invertible. Entonces, la ecuación. (13) se puede expresar como la ecuación. (14).

donde \({\mathbf{D = A}}^{{ - {1}}} {\mathbf{B}}\). Debido a \(\left|{\lambda{\mathbf{I}} - {\mathbf{D}}}\right|{\mathbf{=}}{0}\), la ecuación característica de la matriz puede ser representado como

donde \(d_{j} (j = 1,2,3,4,5,6)\) y \(\lambda\) son respectivamente coeficientes y valores característicos de la ecuación característica.

Cuando la ecuación característica cumple la condición del criterio de Hurwitz, el estado sincrónico del sistema vibratorio es estable. De lo contrario, es inestable.

En esta sección, el sistema de control del sistema vibratorio se muestra en la Fig. 3. La estrategia de control maestro-esclavo se introduce en la estructura controlada y el método PID borroso se usa en el método de control vectorial de los motores inductores26,27. El motor 1 se considera el motor maestro del sistema. Tanto el motor 2 como el 4 se consideran motores esclavos del motor 1. Mientras tanto, el motor 3 se considera el motor esclavo del motor 2.

Diagrama del marco del sistema de control.

Para certificar la factibilidad del sistema de control, se debe ilustrar la Fig. 3. \(\omega_{t}\) como velocidad objetivo se da primero, y luego a través del método PID difuso, la velocidad del motor 1 \(\omega_{1}\) se puede obtener con RFOC 1. Hay tres funciones de \(\omega_{1}\). Uno se transfiere al motor 1 como valor de realimentación. Otro se le da al motor 2 como un valor de entrada. El otro se usa para obtener \(\varphi_{1}\) a través del método integral. Con la misma frecuencia, el sistema de control se rastrea a través de la fase, mientras que se rastrea a través de la velocidad con el método de relación de frecuencia fija. Así se pueden adquirir las velocidades y fases de los motores 2, 3 y 4.

Debido a que hay dos situaciones de rastreo en la Fig. 3 que son, respectivamente, el rastreo de velocidad y el rastreo de fase, la estabilidad del sistema de control debe analizarse por separado. En la situación de trazado de velocidad, la velocidad del motor se establece como la variable de estado, \(\omega = \dot{\varphi }\). Tomando \(\omega = \dot{\varphi }\) en la ecuación. (4), por lo tanto la Ec. (4) se puede expresar como

donde \(K_{Ti} = L_{mi} \phi_{rdi} /L_{ri} (i = 1,2,3,4)\), \(u_{i}\) como la variable de control representa \ (i_{qsi}^{ * }\), \(i = 1,2,3,4\). \(W_{i} = - T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) representa las cargas inciertas. \(J_{i} (i = 1,2,3,4)\), representa respectivamente la inercia rotacional de cuatro motores. Combinando la velocidad objetivo dada \(\omega_{t}\) en la Fig. 3 con la velocidad real \(\omega\), el error de velocidad del motor se puede expresar como

Entonces, el error de seguimiento del sistema se puede representar como \({\boldsymbol{E}} = [e,\dot{e}]^{{\text{T}}}\). De acuerdo con la Ec. (16), la ley de control del sistema se puede diseñar como

donde \({\boldsymbol{K}} = [k_{p} ,k_{i} ]^{{\text{T}}}\). La función \(\hat{f}(x)\) se puede expresar como \(\hat{f}(x|\theta_{f} ) = \theta_{f}^{{\text{T}}} \xi (x)\) que se basa en el coeficiente de peso \(\theta_{f}\). Por lo tanto, la ley adaptativa del sistema de control se puede diseñar como Eq. (19).

donde P es una matriz definida positiva. Considerando \(\Omega_{f}\) como un conjunto convexo para asegurar que el coeficiente de peso óptimo \(\theta_{f}^{ * }\) le pertenece y el coeficiente de peso \(\theta_{f}\) es encerrado. Y entonces, \(\theta_{f}^{*}\) se puede estructurar como

Tomando la ecuación. (18) en la ecuación. (16), la ecuación de lazo cerrado del sistema de control está diseñada como

donde \({\mathbf{b}} = \left( \begin{reunidos} 0 \hfill\\1 \hfill\\end{reunidos}\right)\), \({{\varvec{\Lambda} } } = \left({\begin{array}{*{20}c}0&1\\{-k_{p}}&{-k_{i}}\\end{array}}\right) \).

Como se ilustra en la sección "Diseño del sistema de acoplamiento electromecánico", debido a que el sistema de control es un sistema de retroalimentación, se debe considerar el error de velocidad y el error de fase. Por lo tanto, la ecuación. (21) se puede convertir a la ecuación. (22) que es la ecuación de error aproximada con las Ecs. (18) y (19).

donde \(\Gamma = \hat{f}(x|\theta_{f}^{*} ) - f(x)\) es el error aproximado mínimo.

Para adquirir los valores mínimos de E y \(\theta_{f} - \theta_{f}^{*}\), se construye una función de Lyapunov como Eq. (23).

donde \(\zeta\) es un número real positivo. Se introduce Q como matriz definida positiva para satisfacer la estabilidad de la ecuación de Lyapunov.

Conjunto \(V_{1} = E^{{\text{T}}}{\mathbf{P}}E/2\), la derivada \(\dot{V}_{{1}} = - E ^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + (\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\xi(x) + E^{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). De manera similar, establezca \({\mathbf{V}}_{2} = (\theta_{f} - \theta_{f}^{*})^{{\text{T}}}(\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )/(2\zeta )\), y luego la derivada \({\dot{\mathbf{V}}}_{2} = (\theta_{f} - \ theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} \dot{\theta}_{f} /\zeta\). Según el criterio de Lyapunov, la derivada de la ecuación se puede expresar como \({\dot{\mathbf{V}}} = {\dot{\mathbf{V}}}_{{1}} + {\dot {\mathbf{V}}}_{{2}}\), traer \({\mathbf{V}}_{1}\) y \({\mathbf{V}}_{2}\) a \({\mathbf{V}}\), se puede derivar como \(\dot{V} = - E^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). Cuando existen los valores de \(\Gamma\) que pueden satisfacer la condición \({\dot{\mathbf{V}}}\le 0\), el sistema es estable.

Con el mismo método anterior, se puede obtener la certificación de estabilidad de error de velocidad y error de fase con los otros motores.

En esta sección, se dan algunos ejemplos representativos de simulación numérica. Los resultados muestran que demuestran que la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar. Sin embargo, la sincronización controlada por multifrecuencia se puede realizar a través del método PID difuso. Y luego, se dan los mismos resultados con los experimentos. Los parámetros en las simulaciones y experimentos se enumeran en las tablas 2 y 3.

Según el modelo de la figura 1, la frecuencia de los motores 1 y 4 se establece en 30 Hz y la frecuencia de los motores 2 y 3 en 45 Hz. Los resultados de la simulación en la Fig. 4a representan que las velocidades de cuatro motores alcanzan las velocidades dadas. De la Fig. 4b, representa que la fase entre el motor 1 y 4 es aproximadamente igual a cero. Este resultado muestra que dos motores girados en dirección opuesta con la misma frecuencia pueden alcanzar el estado de sincronización estable. De manera similar, la fase entre el motor 2 y 3 también tiende a cero en la Fig. 4c. Con la teoría no lineal, cuando el sistema puede alcanzar \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 y \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2}\) = constante, se puede realizar la autosincronización multifrecuencia. Sin embargo, la diferencia de fase en la Fig. 4d es una curva monótona y \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2} \ne\) constante. Este resultado representa que no se puede realizar la autosincronización multifrecuencia del sistema de vibración. Las figuras 4e,f son respectivamente las respuestas en tres direcciones. Los resultados en la Fig. 4 son consistentes con el modelo dinámico.

Autosincronización multifrecuencia con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5. (a) Velocidad, (b) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (c) diferencia de fase entre el motor 2 y 3, (d) diferencia de fase entre el motor 1 y 2, (e) respuesta en la dirección x e y, ( f) respuesta en la dirección ψ.

Con los resultados anteriores, la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar. Por lo tanto, el método de relación de frecuencia fija se introduce en el sistema vibratorio. Como se muestra en la Fig. 5a, son las velocidades de cuatro motores. La velocidad dada del motor 1 es de 60 rad/s, las velocidades de los motores 2, 3 y 4 respectivamente alcanzan 90 rad/s, 90 rad/s y 60 rad/s con el método de control. La figura 5b es la carga de torsión de cuatro motores de inducción. Los valores de las cargas de par están entre −2 y 2, por lo que no puede presentarse el fenómeno de rotor bloqueado y sobrecarga con motores. Todos los motores inductores pueden funcionar sin problemas. En la Fig. 5c, la fase entre los motores 1 y 4 es casi igual a cero, lo que ilustra que los motores 1 y 4 alcanzan el estado sincrónico estable. La Figura 5d es la diferencia de fase entre el motor 1 con el motor 2 y 3. Las diferencias de fase son ambas constantes. Este resultado muestra que la sincronización controlada se realiza con el método de relación de frecuencia fija. Las Figuras 5e,f son respuestas en las tres direcciones. En la Fig. 5e, dos grupos de motores giran en dirección opuesta. Por lo tanto, las fuerzas en la dirección y se contrarrestan entre sí y la amplitud en la dirección y es casi cero, mientras que las amplitudes en la dirección x se superponen. Este resultado concuerda con la teoría dinámica propuesta. En la Fig. 5f, la respuesta en la dirección ψ tiende a cero. Este fenómeno muestra que no hay oscilación en el sistema vibratorio. A través de la Fig. 5, se puede saber que el sistema vibratorio alcanza el estado sincrónico estable y la sincronización controlada se realiza con el método de relación de frecuencia fija. Para garantizar la arbitrariedad del parámetro n, en la Fig. 6 se presenta otra simulación en la que el parámetro se modifica de 1,5 a 1,2. En la Fig. 6, las cargas de par de cuatro motores siguen satisfaciendo los requisitos de funcionamiento en función de los valores entre − 1 y 1. A través de las velocidades y las diferencias de fase en la Fig. 6a, c, d, los resultados representan que el sistema vibratorio puede realizar la sincronización controlada con el parámetro n = 1,2. Aunque la respuesta de la dirección y en la Fig. 6e es diferente de la respuesta en la Fig. 5 debido al diferente parámetro n, las respuestas de las tres direcciones aún son consistentes con el modelo dinámico. Por lo tanto, el sistema vibratorio puede realizar la sincronización controlada estable. Este resultado demuestra la arbitrariedad del parámetro solo si se cumplen las condiciones de las cargas de par.

Sincronización controlada con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.5, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) pares de carga, (c) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (d) diferencias de fase entre el motor 1 con el motor 2 y 3, (e) respuestas en la dirección x e y, (f) respuesta en la dirección ψ.

Sincronización controlada con cuatro ER, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.2, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) pares de carga, (c) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (d) diferencias de fase entre el motor 1 con el motor 2 y 3, (e) respuestas en la dirección x e y, (f) respuesta en la dirección ψ.

Para validar la precisión de la teoría propuesta, los principales equipos experimentales se enumeran en la Fig. 7 en primer lugar. Las frecuencias de cuatro motores inductores se establecen mediante cuatro convertidores de los cuales tipo son Siemens MM440. Los PLC (controladores lógicos programables) están conectados con los convertidores. Los tres sensores de aceleración se pegan en el banco de prueba vibratorio y se conectan con el DASP (Adquisición de datos y procesamiento de señales) del cual otro puerto está conectado con una computadora. Y luego, el experimento de autosincronización multifrecuencia se basa en n = 1.2 para compararlo con la simulación en la Fig. 4. Como se muestra en la Fig. 8, las frecuencias de cuatro motores se establecen respectivamente en 30 Hz, 36 Hz, 36 Hz y 30 Hz. Desde (a), las velocidades son estables y alcanzan el valor predeterminado. Aunque la diferencia en (b) está entre −5 y −12, se puede reconocer que los motores 1 y 4 realizan el movimiento de autosincronización debido al error del experimento. Un resultado similar se encuentra en la figura (c). Comparado con el resultado en (d) de la Fig. 4, (d) en la Fig. 8 muestra el mismo resultado de que la curva de la diferencia de fase entre el motor 1 y 2 también es monótona. Por lo tanto, la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar. Las respuestas de las tres direcciones en (e) y (f) están de acuerdo con el resultado de la simulación y la teoría. Este experimento indica que la autosincronización multifrecuencia no se puede realizar sea cual sea el valor de n.

Equipo de experimentación del sistema vibratorio. (a) El banco de pruebas vibratorio, (b) la adquisición de datos y el procesamiento de señales, (c) los sensores de aceleración, (d) el interruptor magnético Hall, (e) el controlador lógico programable, (f) los convertidores.

Experimento de autosincronización multifrecuencia con cuatro ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.2, \(\eta = 50\%\). (a) Velocidades, (b) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (c) diferencia de fase entre el motor 2 y 3, (d) diferencia de fase entre el motor 1 y 2, (e) respuesta en la dirección x, (f) respuesta en la dirección y1, (g) respuesta en la dirección y2.

En la Fig. 9 se ilustra el experimento de sincronización controlada en base al parámetro n = 1,5. De la Fig. 9a–c, el motor 1 con 4 y el motor 2 con 3 realizan la sincronización controlada. En la Fig. 9d, la diferencia de fase entre el motor 1 y 2 tiende a una constante, lo que confirma que se realiza la sincronización controlada. En la Fig. 9e, la respuesta es obviamente más pequeña que la respuesta en la Fig. 9g, por lo que este resultado indica que el sistema vibratorio realiza el estado sincrónico estable. La curva de respuesta de (e) en la Fig. 9 es similar a la curva de (e) en la Fig. 5 y este resultado experimental se corresponde con la simulación.

Experimento de sincronización controlada con cuatro ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1.5, \(\eta = 50\%\). (a) velocidades, (b) diferencia de fase entre el motor 1 y 4, (c) diferencia de fase entre el motor 2 y 3, (d) diferencia de fase entre el motor 1 y 2, (e) respuesta en la dirección x, (f) respuesta en la dirección y1, (g) respuesta en la dirección y2.

El artículo investiga la sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores de inducción con el método de relación de frecuencia fija basado en un cuerpo rígido masa-resorte. A través de la derivación del modelo dinámico se obtienen las condiciones de estabilidad y sincronización del sistema vibratorio. Este resultado indica que aunque se puede realizar la autosincronización con la misma frecuencia, la autosincronización multifrecuencia del sistema vibratorio no se puede realizar en el modelo dinámico de la Fig. 1. Se dan algunas simulaciones numéricas y experimentos para certificar la consistencia. del resultado Mediante la introducción del método de relación de frecuencia fija propuesto en el sistema de control, se realiza la sincronización controlada por multifrecuencia. A través del análisis de robustez, se certifica la estabilidad del sistema de control para iluminar la viabilidad del método de control. Se ilustra la conformidad de la teoría con las simulaciones y los experimentos. El resultado indica que solo si se pueden satisfacer las condiciones de las cargas de par, la arbitrariedad del parámetro de frecuencia fija se puede realizar con el método propuesto. Además, el método de sincronización controlada por multifrecuencia proporciona una forma novedosa de abordar el problema de la criba vibratoria multifrecuencia en la industria.

Los conjuntos de datos generados durante el estudio actual no están disponibles públicamente hasta que finalice la financiación del proyecto en este artículo, pero están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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La investigación del autor cuenta con el apoyo del Proyecto General del Departamento de Educación de Liaoning de 2022 (Proyecto No. LJKMZ20220602) y el apoyo a la investigación científica de 2021 para talentos de alto nivel de la Universidad Shenyang Ligong (1010147001001). El APC fue financiado por los mismos financiadores.

Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad Shenyang Ligong, Shenyang, 110159, China

Lei Jia, Chun Wang y Ziliang Liu

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LJ terminó el establecimiento del modelo dinámico, los experimentos y escribió el manuscrito principal. CW preparó todas las figuras y tablas. ZL terminó las simulaciones. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Lei Jia.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Jia, L., Wang, C. y Liu, Z. Sincronización controlada por multifrecuencia de cuatro motores inductores mediante el método de relación de frecuencia fija en un sistema de vibración. Informe científico 13, 2467 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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Recibido: 01 noviembre 2022

Aceptado: 07 febrero 2023

Publicado: 11 febrero 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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